연재순서
제1장 펌프 제품 소개
제2장 펌프의 기초지식과 응용
제3장 펌프의 재료와 방식
제4장 기장계획
제5장 수충격 현상
1. 수충격 현상의 개념
2. 수충격에 의한 피해
3. 수충격작용 방지 장치
4. 수충격 현상 해석
   4.1 수충격 현상 해석의 목적
   4.2 특선곡선법을 이용한 수충격 현상 해석
   4.3 펌프 및 수충격 완화장치
   4.4 수충격 현상 해석 프로그램 흐름도
   4.5 수충격 현상 해석에 필요한 자료
   4.6 수충격 현상 해석 예
제6장 소음 진동 대책
1. 소음과 진동
2. 소음의 평가
3. 소음의 측정
4. 소음원 대책
5. 소음기
6. 펌프장의 소음 대책
7. 진동의 진단

4.2 특성곡선법을 이용한 수충격 현상 해석

3) 유한차분 방정식

파이프를 등간격   로 분할하여 분할된 위치에서 미지수를 유한 차분법으로 해석하게 된다. 이때  로 하면, <그림 5.13>에서 C 를 따라서 식(5.27)은 자동적으로 만족이 된다.

 <그림 5.13 단관에서 x-t Grid>

이때 미지수 V와 H를 A점에서 알고 있다면 식(5.26)은 AP선상에서 적분되어야 한다.

한편 C-, BP를 따라서 식(5.29)가 만족이 되므로 식(5.28)은 BP를 따라서 적분되어야 한다.

먼저 식 (5.26)의 양변을 (a/g)dt=dx/g를 곱하고 파이프의 단면적 A를 도입하여 평균속도 V 대신 유량 Q를 사용한 후 식을 적분하면 다음과 같이 된다.

 (5.30)

x에 따른 Q의 변화를 모르기 때문에 개략적으로 처리해야 한다.

제일 간단히 A점에서의 Q를 AP구간에서 사용하면 된다.

한편 C- 특성곡선 BP를 따라서도 같은 방법으로 적분하면 식(5.26)과 식(5.28)은 다음과 같이 A, B, P 점에서의 미지수 H, Q의 값으로 나타낼 수 있다.

 (5.31)

 (5.32)

위 식은 파이프 내에서 압력과 유량의 과도현상을 나타내는 대수식으로 Hp에 대하여 나타내면 다음과 같다.

 (5.33)

 (5.34)

여기서,

초기조건, 즉 t=0일 때 전구간에서 H와 Q는 정상상태의 값이 된다.

따라서, A,B와 같은 모든 점에서 H와 Q를 알고 있다면   일때 H와 Q를 계산할 수 있다.

식(5.33)과 식(5.34)를 간단히 나타내면 다음과 같다.

 (5.35)

 (5.36)

여기서,

 (5.37)

 (5.38)

따라서,   (5.39)

이 되며  와   를 식(5.35) 또는 식(5.36)에 대입하면 얻어진다.

4) 경계조건

파이프의 양끝에서는 식(5.35)와 식(5.36)중 한개만 성립하고 미지수는 Q와 H이다.

<그림 5.14>의 상류 끝에서는 C- 특성만 성립하고 하류끝에서는 C 특성만 성립한다.

따라서, 경계조건이 필요하게 된다.

경계조건으로는 Q 또는 H가 주어지게 되고 경우에 따라서는 Q와 H의 관계식으로 나타난다.

 <그림 5.14 경계에서 특성곡선>

이를 통하여 경계조건의 영향이 과도현상에 영향을 미치게 된다.

먼저 간단한 예로 상류끝이 그냥 수조에 연결되어 있다면 H가 일정하게 유지될 것이다.

이를 HR이라면 Hp1=HR이 된다.

수조의 수위가 시간의 함수가 되는 경우도 있겠다.

그러면 Hp1이 주어지므로 식(5.36)에서

 (5.40)

이 될 것이다. 이와는 달리 끝에서 유량 Q가 일정 또는 시간의 함수가 되는 경우가 있다.

이를 Qp1이라면 식(5.36)에서 Hp1을 계산할 수 있게 된다.

만약 경계에 유량-수두의 특성 곡선이 주어져 있는 펌프가 부착되어 있다면 특성곡선을 표로 컴퓨터에 입력시키면 된다.

경우에 따라서는 다음과 같이 간단한 식으로 나타낼 수 있다.

 (5.41)

여기서 HS는 펌프의 체절수두이고 특성곡선은 Q의 2차식으로 나타낸 것이다.

식(5.41)은 식(5.36)과 연립하여 풀면

 (5.42)

이 된다. Qp1을 계산한 후 식(5.36)에서 Hp1을 계산하면 된다.

흔히 파이프의 하류에 밸브가 부착되는 경우가 많다. 밸브는 정상상태인 경우 오리피스의 특성과 같아서 다음과 같이 특성을 나타낼 수 있다.

 (5.43)

여기서 Q0, H0는 정상상태의 값이고 Cd는 유량계수, AG는 밸브의 개도이다.

일반적으로 밸브의 개도에 따라서

 (5.44)

이다. 여기서   는 밸브를 통한 수두손실이다.

이때 밸브의 개도를 무차원 파라메터  로 다음과 같이 나타낼 수 있다.

 (5.45)

여기서,

 (5.46)

하류끝점을 NS라면 식(5.45)와 식(5.35)로부터 유량은 다음과 같이 계산된다.

 (5.47)

여기서,  이고  는 식(5.35)에서 계산된다.

5) 복잡한 시스템

만약 굵기가 다른 파이프가 직렬, 병렬 또는 망상으로 구성되어 있다든지 파이프시스템 사이에 어떤 특수한 장치가 있을 때는 해석이 복잡해진다.

이때는 단일파이프를 서로 독립적으로 해석해야 하며 파이프와 파이프 사이에서 적당한 경계조건이 성립되어야 한다.

 <그림 5.15 직렬 연결부>

간단한 예로 서로 다른 파이프가 직렬로 <그림 5.15>와 같이 연결되어 있다면 가장 간단한 연결점에서 유량과 수두가 같게 되어야 한다. 따라서,

  (5.48)

이 된다. 그러므로 식(5.35)와 식(5.36)으로부터 유량은 다음과 같이 구해진다.

 (5.49)

복잡한 파이프 시스템일 때 모든 파이프에서 시간의 증분  를 같게 할 필요가 있다.

이때  와 J번째 파이프의 분할개수 NJ의 선택에 조심해야 한다. 보통 매 파이프에서

 (5.50)

이 되고, NJ는 정수가 되도록  와 NJ를 선택해야 된다.

그러나 대부분 복잡한 시스템에서 완벽하게 위 조건을 만족시킬 수 없다. 따라서 보통 파의 전파속도 aJ를 약간 조절하여  와 NJ를 선택한다.

 <그림 5.16 파이프 사이의 밸브>

<그림 5.16>과 같이 파이프 사이에 밸브가 부착되어 있는 경우에는 정상상태로 가정하고 오리피스 관계식을 이용한다.

이때 오리피스 내의 관성력의 효과는 무시한다. 만약 유동이 파이프 1에서 2로 진행한다면 다음 관계가 성립한다.

 (5.51)

여기서 HO는   =1, 정상상태일 때 유량 Q0에 대한 수두손실이다.

이를 파이프 1에 대한 식(5.36)과 파이프2에 대한 식(5.35)를 사용하여 계산하면 다음과 같이 된다.

 (5.52)

여기서  이다. 유동이 반대방향으로 역류하는 경우에는

 (5.53)

이 되고, 같은 방법으로 계산하면 다음과 같이 된다.

 (5.54)

만약 파이프내 유동의 운동에너지나 부차적 손실이 중요한 경우에는 <그림 5.17>에서와 같이 이를 고려한 경계조건을 사용해야 한다.

 <그림 5.17 부차적 손실과 운동 에너지>

파이프의 입구에서의 부차적 손실계수를 K라고 하면 에너지 방정식으로부터

 (5.55)

이 된다. 이를 식(5.36)과 같이 연립으로 풀면 된다.

만약 유동이 역류를 하는 경우의 운동에너지는 모두 손실되기 때문에

 (5.56)   로 하면 된다.

6) 내삽법을 이용한 특성곡선법

3)절에서는 식(5.6)과 식(5.18)을 간단히 한 후 특성 곡선법을 적용시켰으나 일반적인 경우나 파이프 시스템이 복잡해지면 내삽법을 이용해야 한다. 따라서, 식(5.6)과 식(5.18)에 λ를 도입하면

 (5.57)

여기서,

 (5.58)

로 하면 식(5.57)은 다음과 같은 상미분 방정식이 된다.

 (5.59)

이때 λ를 ±g/a로 택하면

 (5.60)

가 된다. 그러면 식(5.59)와 식(5.60)에서 다음 네개의 특성방정식을 얻게 된다.

전절에서와 같은 방법으로 식(5.61)~식(5.64)를 유한 차분법으로 나타낼 수 있다.

<그림5.18>에서와 같이 이번 경우에는  와   를 항상 식(5.62)와 식(5.64)를 자동적으로 만족되도록 선택할 수 없기 때문에 특별한 고려가 필요하다.

따라서, 식(5.61)~식(5.64)를 dt로 곱하여 유한차분 방정식으로 나타내면 다음과 같다.

위 네개 방정식은 미지수  에 대한 연립방정식으로 쉽게 답을 계산할 수 있다.

주어진 시간의 증분에 대하여 A, B, C점에 대하여 H와 Q를 알고 있으므로 <그림 5.18>의 R과 S점에서의 H와 Q를 내삽법으로 계산하면 P점에서 답을 구할 수 있다.